Question

14．在平面直角坐標系中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，點F的極坐標為（2$\sqrt{2}$，π），且F在直線l上．
（Ⅰ）若直線l與曲線C交于A、B兩點，求|FA|•丨FB丨的值；
（Ⅱ）求曲線C內接矩形周長的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出曲線C的普通方程和焦點坐標，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程利用根與系數(shù)的關系和參數(shù)的幾何意義得出；
（II）設矩形的頂點坐標為$（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由對稱性可得橢圓C的內接矩形的周長，求出此函數(shù)的最大值．

解答 解：（I） 點F的極坐標為$（2\sqrt{2}，π）$所以直角坐標為$（-2\sqrt{2}，0）$∴$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ 0=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，∴$m=-2\sqrt{2}$
曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
所以直角坐標方程為x²+3y²=12-------------------（3分）
將直線AB的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C直角坐標方程中
可得t²-2t-2=0
所以|FA|•|FB|=2----------------------------（6分）
（Ⅱ）設橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點為$（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$
由對稱性可得橢圓C的內接矩形的周長為$8\sqrt{3}cosθ+8sinθ$=$16sin（θ+\frac{π}{3}）$------------（9分）
當$θ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$時，即$θ=\frac{π}{6}$時橢圓C的內接矩形的周長取得最大值16．---------（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉化，函數(shù)的最值，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．