Question

4．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，2a₁+a₂=a₃，3a₆=8a₁a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n-nlog₂3，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），利用已知條件建立方程組，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知${log_2}{a_n}={log_2}（3×{2^{n-1}}）={log_2}3+n-1$，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），
由2a₁+a₂=a₃得$2{a_1}+{a_1}q={a_1}{q^2}$，
故q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1（舍去）．…（2分）
由3a₆=8a₁a₃得$3{a_1}{q^5}=8a_1^2{q^2}$，故a₁=3． …（4分）
于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=3×{2^{n-1}}$．…（6分）
（Ⅱ）由于${log_2}{a_n}={log_2}（3×{2^{n-1}}）={log_2}3+n-1$…（8分）
故b_n=（log₂3+0）+（log₂3+1）+（log₂3+2）…+（log₂3+n-1）-nlog₂3
=$1+2+…+（n-1）=\frac{n（n-1）}{2}$． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．