Question

15．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_n．a(chǎn)_n+1，b_n=a_n-1數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，T_n=S_2n-S_n．
（I）求證：數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （I）化簡(jiǎn)可得2（a_n-1）+2=（a_n-1）（a_n+1-1）+（a_n-1）+（a_n+1-1）+2，從而可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+1，從而證明．
（Ⅱ）由（I）知$\frac{1}{_{n}}$=n，從而可得b_n=$\frac{1}{n}$，從而化簡(jiǎn)T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，從而判斷即可．

解答 解：（I）證明：∵2a_n=1+a_n．a(chǎn)_n+1，
∴2（a_n-1）+2=（a_n-1）（a_n+1-1）+（a_n-1）+（a_n+1-1）+2，
∴a_n-1=（a_n-1）（a_n+1-1）+（a_n+1-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+1，
即$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{_{n}}$+1，
故數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}為公差為1的等差數(shù)列；
（Ⅱ）$\frac{1}{_{1}}$=$\frac{1}{2-1}$=1，
故$\frac{1}{_{n}}$=1+1•（n-1）=n，
故b_n=$\frac{1}{n}$，
故T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，
故T_n+1-T_n=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$＞0，
故當(dāng)n=1時(shí)有最小值，即T₁=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的判斷，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．