Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，經(jīng)過雙曲線的右焦點F（2，0）作一條直線分別交雙曲線的左、右兩支于A、B兩點，且|AB|=12，則該直線的斜率為$±\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由題意求出雙曲線的標準方程，設(shè)出直線的點斜式方程，然后聯(lián)立方程組消去y得x的方程，利用|AB|=12，建立方程，即可求直線的斜率．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，右焦點F（2，0），
∴c=2，a=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
設(shè)直線方程為y=k（x-2），代入${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}}$=12，
∴k=$±\sqrt{7}$．
故答案為：$±\sqrt{7}$．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強．