Question

2．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|
（1）a=3時，求f（x）=x的根；
（2）若f（x）＜1在x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求f（x）在x∈[0，2]上的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x，即為x|x-3|=x，解方程，即可得到所求根；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，f（x）＜1恒成立，可化為|x-a|＜$\frac{1}{x}$，即-$\frac{1}{x}$＜x-a＜$\frac{1}{x}$，分離參數(shù)，可得x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，求出左右函數(shù)的最值，即可得到實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)零點分段法，當(dāng)x≥a時，f（x）=x|x-a|=x²-ax，其圖象開口方向朝上，且以直線x=a為對稱軸，當(dāng)x＜a時，f（x）═-x²+ax，其圖象開口方向朝下，且以直線x=a為對稱軸，結(jié)合x∈[0，2]，對a值進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值g（a），進而得到最小值．

解答 解：（1）a=3時，f（x）=x|x-3|，
由f（x）=x，可得x=0或2或4，
故方程的根為0或2或4；
（2）若f（x）＜1在x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上恒成立，即為
x|x-a|＜1，可化為|x-a|＜$\frac{1}{x}$，即-$\frac{1}{x}$＜x-a＜$\frac{1}{x}$，
即x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，
由x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，即有a＜2；
因為x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，x-$\frac{1}{x}$單調(diào)遞增，
所以x-$\frac{1}{x}$的最大值為x=$\frac{3}{2}$時，等于$\frac{5}{6}$，即有a＞$\frac{5}{6}$．
綜上所述，$\frac{5}{6}$＜a＜2；
（3）①當(dāng)a≤0時，f（x）=x（x-a）=x²-ax在[0，2]遞增，
可得x=2時，取得最大值g（a）=4-2a；
②當(dāng)0＜a≤2時，由x=$\frac{a}{2}$，y=$\frac{{a}^{2}}{4}$；x=2時，y=4-2a，
令$\frac{{a}^{2}}{4}$=4-2a，解得a=4$\sqrt{2}$-4，
當(dāng)0＜a≤4$\sqrt{2}$-4時，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，（$\frac{a}{2}$，a）遞減，在（a，2）遞增，
可得f（2）取得最大值，且為g（a）=4-2a；
當(dāng)4$\sqrt{2}$-4＜a≤2時，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，（$\frac{a}{2}$，a）遞減，在（a，2）遞增，
可得f（$\frac{a}{2}$）取得最大值，且為g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
③當(dāng)2＜a≤4時，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，（$\frac{a}{2}$，2）遞減，
可得f（$\frac{a}{2}$）取得最大值，且為g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
④當(dāng)a＞4時，f（x）在[0，2]遞增，可得f（2）取得最大值，且為g（a）=2a-4．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2a，a≤4\sqrt{2}-4}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，4\sqrt{2}-4＜a≤4}\\{2a-4，a＞4}\end{array}\right.$；
當(dāng)a≤4$\sqrt{2}$-4時，g（a）≥12-8$\sqrt{2}$；
當(dāng)4$\sqrt{2}$-4＜a≤4時，g（a）遞增，可得g（a）∈（12-8$\sqrt{2}$，4]；
當(dāng)a＞4時，g（a）∈（4，+∞）．
可得g（a）≥12-8$\sqrt{2}$，即有g(shù)（a）的最小值為12-8$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)絕對值函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，結(jié)合二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的最值的求法，屬于難題．