【題目】已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為，直線與曲線交于點(diǎn)、兩點(diǎn).

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，直線，的斜率都存在，記為、，試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

（3）若直線過(guò)點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2），的值與點(diǎn)及直線無(wú)關(guān)，證明見(jiàn)解析；（3）存在，， ，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)漸近線設(shè)出漸近線方程，將點(diǎn)代入即可求出雙曲線的方程.

（2）根據(jù)直線與雙曲線的對(duì)稱性知道點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)出點(diǎn)、、，將其斜率表示出來(lái)，利用點(diǎn)、在雙曲線上，化簡(jiǎn)即可說(shuō)明為定值且直線與關(guān).

（3）根據(jù)題意設(shè)出直線與點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線，表示出，利用為定值，即與斜率無(wú)關(guān)，根據(jù)比值即可求出定點(diǎn)與的值.

（1） 因?yàn)闈u近線方程為.

所以可設(shè)雙曲線為,

將點(diǎn)代入，解得

所以雙曲線的方程為

（2）直線過(guò)原點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性知道，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

設(shè)點(diǎn) ，，則點(diǎn)

代入，有，

所以，.

將，代入得.

所以，的值與點(diǎn)及直線無(wú)關(guān).

（3）由題意知直線斜率存在，故設(shè)直線為 ，點(diǎn)、、

由，得 ，且

又，，

所以

令解得，此時(shí)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元（），項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

（1）若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？

（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過(guò)總?cè)藬?shù)的時(shí)，才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形的長(zhǎng)分別為米和米，上部是圓心為的劣弧，

（1）求圖1中拱門最高點(diǎn)到地面的距離：

（2）現(xiàn)欲以點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門放倒，放倒過(guò)程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示，設(shè)與地面水平線所成的角為.若拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離恰好為到地面的距離，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是數(shù)列，若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列，滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則稱是數(shù)列；

（1）已知正數(shù)項(xiàng)數(shù)列是數(shù)列，且前五項(xiàng)分別為、、、、，求的值；

（2）若為常數(shù)，且是數(shù)列，求的最小值；

（3）對(duì)于下列兩種情形，只要選作一種，滿分分別是 ①分，②分，若選擇了多于一種情形，則按照序號(hào)較小的解答記分.

① 證明：數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件為“既是數(shù)列，又是數(shù)列”；

②證明：正數(shù)項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為“數(shù)列既是數(shù)列，又是數(shù)列”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前6項(xiàng)依次成等比數(shù)列，設(shè)公比為q（），數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)依次為等差數(shù)列，其中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.

（1）求公比q及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求項(xiàng)數(shù)n的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)對(duì)任意的，都有成立，則稱為上的“淡泊”函數(shù).

（1）判斷是否為上的“淡泊”函數(shù)，說(shuō)明理由；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使為上的“淡泊”函數(shù)，若存在，求出的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由；

（3）設(shè)是上的“淡泊”函數(shù)（其中不是常值函數(shù)），且，若對(duì)任意的，都有成立，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）解關(guān)于x的不等式；

（2）對(duì)任意的(﹣1，2)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)常數(shù)）

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，成立，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

已知函數(shù)f（x）=，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

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