【題目】
已知函數(shù)f(x)=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)y=6x-9(Ⅱ)0<a<5
【解析】
試題(1)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可;
(2)在區(qū)間上,恒成立恒成立,令,解得或,以下分兩種情況,討論,分類求出函數(shù)最大值即可.
試題解析:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x3-x2+1,f(2)=3;f' (x)=3x2-3x, f' (2)=6.
所以曲線y=f(x) 在點(2,f(2))處的切線方程y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(2)f' (x)=3ax2-3x=3x(ax-1),令f' (x)=0,解得x=0或x=.
以下分兩種情況討論:
①若0<a≤2,則≥,當(dāng)x變化時,f' (x),f(x)的變化情況如下表:
x | (-,0) | 0 | (0,) |
f' (x) | + | 0 | - |
f(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 |
當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價于,即解不等式組得-5<a<5.因此0<a≤2.
②若a>2,則0<<,當(dāng)x變化時,f' (x),f(x)的變化情況如下表:
X | (-,0) | 0 | (0,) | (,) | |
f' (x) | + | 0 | - | 0 | + |
f'(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價于,即解不等式組得<a<5,或a<-.因此2<a<5. 綜合①和②,可知a的取值范圍為0<a<5.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線過點,且漸近線方程為,直線與曲線交于點、兩點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線過原點,點是曲線上任一點,直線,的斜率都存在,記為、,試探究的值是否與點及直線有關(guān),并證明你的結(jié)論;
(3)若直線過點,問在軸上是否存在定點,使得為常數(shù)?若存在,求出點坐標(biāo)及此常數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)), 橢圓C的參數(shù)方程為為參數(shù))。在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點A的極坐標(biāo)為(2,
(1)求橢圓C的直角坐標(biāo)方程和點A在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)
(2)直線l與橢圓C交于P,Q兩點,求△APQ的面積
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【題目】如圖1,是等腰直角三角形,,D,E分別是AC,AB上的點,,將沿DE折起,得到如圖2所示的四棱錐,使得.
圖1 圖2
(1)證明:平面平面BCD;
(2)求與平面所成角的余弦值.
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【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進,市民的出行也越來越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某條地鐵線路運行時,發(fā)車時間間隔t(單位:分鐘)滿足:4≤t≤15,N,平均每趟地鐵的載客人數(shù)p(t)(單位:人)與發(fā)車時間間隔t近似地滿足下列函數(shù)關(guān)系:,其中.
(1)若平均每趟地鐵的載客人數(shù)不超過1500人,試求發(fā)車時間間隔t的值.
(2)若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),問當(dāng)發(fā)車時間間隔t為多少時,平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大?井求出最大凈收益.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】上海地鐵四通八達,給市民出行帶來便利,已知某條線路運行時,地鐵的發(fā)車時間間隔(單位:分字)滿足:,,經(jīng)測算,地鐵載客量與發(fā)車時間間隔滿足,其中.
(1)請你說明的實際意義;
(2)若該線路每分鐘的凈收益為(元),問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時,該線路每分鐘的凈收益最大?并求最大凈收益.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.
(I)求圓的普通方程及其極坐標(biāo)方程;
(II)設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為,射線與圓的交點為,與直線的交點為Q,求線段PQ的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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