Question

10．已知f（x）=2xlnx+x²-ax+3．
（1）若x=1是函數y=f（x）的極值點，求a的值；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再代值計算即可．
（2）先分離參數，再用導數法，求出相應函數的最值，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=2xlnx+x²-ax+3，
∴f′（x）=2（1+lnx）+2x-a，
∵x=1是函數y=f（x）的極值點，
∴f′（1）=2（1+ln1）+2-a=0，解得a=4，
（2）∵對一切x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，
∴2xlnx+x²-ax+3≥0，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，在（0，+∞）上恒成立，
設g（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
則g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$+1=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
當g′（x）＞0時，即x＞1時，函數g（x）單調遞增，
當g′（x）＜0時，即0＜x＜1時，函數g（x）單調遞減，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4，
故a的取值范圍為（-∞，4]．

點評 本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查函數的最值，屬于中檔題．