Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=1和直線l：y=-1，由⊙C外一點(diǎn)P（a，b）向⊙C引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足PQ等于P到直線l的距離．
（1）求實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)M為⊙C上一點(diǎn)，求線段PM長的最小值；
（3）當(dāng)P在x軸上時(shí)，在l上求一點(diǎn)R，使得|CR-PR|最大．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可得

a2+(b-1)2-1

=b-（-1），化簡可得實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式．
（2）求出|PC|的值，則線段PM長的最小值為||PC|-1，計(jì)算可得結(jié)果．
（3）找出圓心C（0，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接PC′，則PC′和直線l：y=-1的交點(diǎn)R，即為所求．

解答： 解：（1）由題意可得，|PQ|=

|PC|2-R2

=

a2+(b-1)2-1

=b-（-1），
化簡可得實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式為 a²=4b+1．
（2）∵M(jìn)為⊙C上一點(diǎn)，|PC|=

a2+(b-1)2

，則線段PM長的最小值為||PC|-1=

a2+(b-1)2

-1．
（3）當(dāng)P在x軸上時(shí)，找出圓心C（0，1）關(guān)于直線l：y=-1的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，-3），連接PC′，則PC′和直線l：y=-1的交點(diǎn)R，
即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離的求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．