Question

在對(duì)角線有相同長(zhǎng)度d的所有矩形中．
（1）怎樣的矩形周長(zhǎng)最長(zhǎng)，求周長(zhǎng)的最大值；
（2）怎樣的矩形面積最大，求面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為x，y，易得x²+y²=d²，周長(zhǎng)c=2（x+y），可得c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，開(kāi)方可得答案；
（2）由（1）矩形面積S=xy=

1

2

•2xy≤

1

2

（x²+y²）=

d2

2

，注意等號(hào)成立的條件即可．

解答： 解：（1）設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為x，y，
由題意可得x²+y²=d²，
∴矩形周長(zhǎng)c=2（x+y），
∴c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）
≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即矩形為正方形時(shí)，c²取到最大值8d²，
周長(zhǎng)取到最大值2

2

d；
（2）由（1）矩形面積S=xy=

1

2

•2xy≤

1

2

（x²+y²）=

d2

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即矩形為正方形時(shí)，矩形面積的最大值

d2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值，涉及矩形的周長(zhǎng)和面積，屬基礎(chǔ)題．