Question

17．正方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：
（1）AC⊥平面B′D′DB；
（2）BD與B′C的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥BD，AC⊥BB′，通過直線與平面垂直的判定定理即可證明．
（2）由BD∥B′D′，可得∠CB′D′即為BD與B′C的夾角，設(shè)正方體的邊長為1，則可求B′D′=B′C=CD′=$\sqrt{2}$，即∠CB′D′=60°，從而可求BD與B′C的夾角的余弦值．

解答 證明：（1）正方體ABCD-A′B′C′D′，B′B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB′，
又∵AC、BD是正方形的對角線，∴AC⊥BD，又BD∩B′B=B，
∴AC⊥平面BB′D′D；
（2）∵BD∥B′D′，
∴可得∠CB′D′即為BD與B′C的夾角，
設(shè)正方體的邊長為1，則可求：B′D′=B′C=CD′=$\sqrt{2}$，即△B′CD′為等邊三角形．
∴∠CB′D′=60°，
∴cos∠CB′D′=$\frac{1}{2}$，即BD與B′C的夾角的余弦值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于基本知識的考查．