Question

2．考察下列各式

你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？

Answer 1

分析 直接利用已知條件，猜想寫出結(jié)果，然后利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：猜想：（n+1）（n+2）（n+3）…2n=2ⁿ×1×3×5…（2n-1）．
證明：（1）當n=1時，顯然成立．
（2）假設當n=k時等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…2k=2^k×1×3×5…（2k-1）．
那么當n=k+1時（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…2（k+1）
=$（k+1）\frac{（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）•…•2k（2k+1）2（k+1）}{k+1}$
=$\frac{{2}^{k}×1×3×5•…•（2k-1）（2k+1）2（k+1）}{k+1}$
=2^k+1×1×3×5×…×[2（k+1）-1]，
所以當n=k+1時等式成立．
根據(jù)（1）（2）可知對任意正整數(shù)等式均成立．

點評 本題考查歸納推理，數(shù)學歸納法的證明步驟的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．