Question

14．已知直角坐標(biāo)原點(diǎn)O為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，在區(qū)間（0，2）任取一個數(shù)e，則事件“以e為離心率的橢圓C與圓O：x²+y²=a²-b²沒有交點(diǎn)”的概率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{4-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把橢圓C與圓O：x²+y²=a²-b²沒有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為c＜b，由此求出e的范圍，再由幾何概型概率計算公式求解．

解答 解：如圖，

圓O：x²+y²=a²-b²=c²，
要使橢圓C與圓O：x²+y²=a²-b²沒有交點(diǎn)，則c＜b，
即c²＜b²=a²-c²，
∴a²＞2c²，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$＜\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
∴0$＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴以e為離心率的橢圓C與圓O：x²+y²=a²-b²沒有交點(diǎn)的概率P=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了幾何概型概率的求法，是中檔題．