Question

20．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且2a₁，$\frac{1}{2}，3{a}_{2}$成等差數(shù)列，a₂，$\frac{1}{3}{a}_{3}$，a₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$，記S_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…\frac{1}{_{n-1}_{n}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，計算即可得到；
（2）化簡b_n=log₃3ⁿ=n，$\frac{1}{_{n-1}_{n}}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，運用裂項相消求和，化簡即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
2a₁，$\frac{1}{2}，3{a}_{2}$成等差數(shù)列，可得
2a₁+3a₂=1，
即2a₁+3a₁q=1①
a₂，$\frac{1}{3}{a}_{3}$，a₆成等比數(shù)列，可得
a₂a₆=$\frac{1}{9}$a₃²，
即a₁q•a₁q⁵=$\frac{1}{9}$a₁²q⁴②
由①②解得a₁=q=$\frac{1}{3}$，
則a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（2）b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=log₃3ⁿ=n，
即有$\frac{1}{_{n-1}_{n}}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
則S_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…\frac{1}{_{n-1}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．