20.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1,$\frac{1}{2},3{a}_{2}$成等差數(shù)列,a2,$\frac{1}{3}{a}_{3}$,a6成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3$\frac{1}{{a}_{n}}$,記Sn=$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…\frac{1}{_{n-1}_{n}}$,求Sn

分析 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,計(jì)算即可得到;
(2)化簡bn=log33n=n,$\frac{1}{_{n-1}_{n}}$=$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和,化簡即可得到.

解答 解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),
2a1,$\frac{1}{2},3{a}_{2}$成等差數(shù)列,可得
2a1+3a2=1,
即2a1+3a1q=1①
a2,$\frac{1}{3}{a}_{3}$,a6成等比數(shù)列,可得
a2a6=$\frac{1}{9}$a32
即a1q•a1q5=$\frac{1}{9}$a12q4
由①②解得a1=q=$\frac{1}{3}$,
則an=a1qn-1=($\frac{1}{3}$)n;
(2)bn=log3$\frac{1}{{a}_{n}}$=log33n=n,
即有$\frac{1}{_{n-1}_{n}}$=$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,
則Sn=$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…\frac{1}{_{n-1}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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10.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)$的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形,直線x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0與以橢圓C的右焦點(diǎn)F為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切
(1)求橢圓C的方程;
(2)過定點(diǎn)D(0,2),且斜率為k的直線l與橢圓C相當(dāng)于M、N兩點(diǎn)
①若線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線l的方程;
②若點(diǎn)F在以MN為直徑的圓內(nèi)部,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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11.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(-2,3).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求橢圓C內(nèi)接矩形面積的最大值及此時(shí)矩形的周長.

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8.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a2=0,a4=4.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(n)設(shè)bn=$\frac{1}{{S}_{n}+4n}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn(n∈N+).

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15.已知an=n+2n,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

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5.已知知函數(shù)f(x)=x3-ax2(其中a是實(shí)數(shù)),且f′(1)=0
(1)求a的值及曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程
(2)求f(x)≥kx-$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.

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12.已知數(shù)列{an}滿足a1=$\frac{3}{2}$,2an=an-1+2n-1,求{an}的通項(xiàng)公式.

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9.若數(shù)列{an}滿足an=$\left\{\begin{array}{l}{4,n=1}\\{2n+1,n>1}\end{array}\right.$且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(1)求Sn
(2)求證:$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{3}}$+…$+\frac{1}{{S}_{n}}$$>\frac{n}{2n+4}$.

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10.用5、6、7、8四個(gè)數(shù)字組成五位數(shù),數(shù)字可重復(fù)、組成的五位數(shù)中至少有連續(xù)三位是5的數(shù)字有40個(gè).

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