Question

5．已知知函數(shù)f（x）=x³-ax²（其中a是實數(shù)），且f′（1）=0
（1）求a的值及曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程
（2）求f（x）≥kx-$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，2]上恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，由條件可得a，求出切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線的方程；
（2）由題意可得k≤$\frac{{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，令g（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，0＜x≤2，運用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得極小值，也為最小值，即可得到k的范圍和最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-ax²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2ax，
由f′（1）=0，可得a=$\frac{3}{2}$；
曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為3×4-3×2=6，
切點為（2，2），
即有曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-2=6（x-2），
即為6x-y-10=0；
（2）f（x）≥kx-$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，2]上恒成立，
x=0時，f（0）=0＞-$\frac{1}{2}$，顯然成立；
即有k≤$\frac{{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，
令g（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，0＜x≤2，
g′（x）=2x-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{4{x}^{3}-3{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（4{x}^{2}+x+1）}{2{x}^{2}}$，
由4x²+x+1＞0恒成立，當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)1＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
即有x=1處取得極小值，也為最小值0，
則有k≤0，
則有k的最大值為0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)求最值，屬于中檔題．