Question

【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是菱形，平面平面，直線(xiàn)與平面所成角為，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】分析：第一問(wèn)首先借助于線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系，求得，之后借助于面面垂直得到直線(xiàn)與平面所成角的平面角，利用題中條件所給角的大小，得到，從而得到為正三角形進(jìn)一步得到，借助于面面垂直的有關(guān)性質(zhì)，得到平面，下一步利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和判定定理證得結(jié)果，第二問(wèn)就是利用空間向量求解即可.

詳解：（1）證明：如圖所示，連接，，在矩形中，，為的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以直線(xiàn)在平面上的射影是直線(xiàn)，

所以直線(xiàn)與平面所成角為，

因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成角為，即，

所以為正三角形，又為的中點(diǎn)，則，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，且，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以．

（2）解：設(shè)為中點(diǎn)，則，所以，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，

，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即

令，得，

同理可求得平面的一個(gè)法向量為，

，

由圖知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．