Question

4．已知一個(gè)實(shí)心鐵質(zhì)的幾何體的正視圖和側(cè)視圖是全等的正三角形，俯視圖是半徑為3的圓，將3個(gè)這樣的幾何體熔成一個(gè)實(shí)心正方體，則正方體的表面積為（　�。�

• A． 54$\root{3}{3{π}^{2}}$
• B． 54$\root{3}{3π}$
• C． 54$\root{3}{12{π}^{2}}$
• D． 54$\root{3}{12π}$

Answer 1

分析 幾何體為圓錐，底面半徑為3，利用體積相等求出正方體的棱長(zhǎng)，得出表面積．

解答 解：∵實(shí)心鐵質(zhì)的幾何體的正視圖和側(cè)視圖是全等的正三角形，俯視圖是半徑為3的圓，
∴鐵質(zhì)幾何體為軸截面為正三角形的圓錐，底面半徑r=3，
∴圓錐的高h(yuǎn)=3$\sqrt{3}$．
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a³=3×$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=27$\sqrt{3}π$，
∴a=3$\root{3}{\sqrt{3}π}$，
∴正方體的表面積S=6a²=54$\root{3}{3{π}^{2}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的三視圖，結(jié)構(gòu)特征，和體積計(jì)算，屬于中檔題．