Question

若函數(shù)f（x）=x²-

1

2

lnx+1在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

；從而可得

1

2

∈（a-1，a+1）；從而求得．

解答： 解：f（x）=x²-

1

2

lnx+1的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

；
∵函數(shù)f（x）=x²-

1

2

lnx+1在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)存在極值，
∴f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

在區(qū)間（a-1，a+1）上有零點(diǎn)，
而f′（x）=2x-

1

2

•

1

x

=

4x2-1

2x

的零點(diǎn)為

1

2

；
故

1

2

∈（a-1，a+1）；
故a-1＜

1

2

＜a+1；
解得，

1

2

＜a＜

3

2

；
又∵a-1≥0，
∴a≥1；
故答案為：[1，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題．