Question

17．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一點P，橢圓內(nèi)一點Q在PF₂的延長線上，滿足QF₁⊥QP，若sin∠F₁PQ=$\frac{5}{13}$，則該橢圓離心率取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{5}$，1）
• B． （$\frac{\sqrt{26}}{26}$，1）
• C． （$\frac{1}{5}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{26}}{26}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 當滿足QF₁⊥QP，由點P在y軸上時，∠F₁PQ=2α，sin2α=$\frac{5}{13}$．sinα=e，解得$e=\frac{\sqrt{26}}{26}$．當點Q在最下端時，∠F₁QF₂最大，此時F₁Q⊥F₂Q．可得點Q在橢圓的內(nèi)部，當b=c時，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：∵滿足QF₁⊥QP，
∴點P在y軸上時，∠F₁PQ=2α，
sin2α=$\frac{5}{13}$．
sinα=e，cosα=$\sqrt{1-{e}^{2}}$，
∴2e$\sqrt{1-{e}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，
解得$e=\frac{\sqrt{26}}{26}$．
當點Q在最下端時，∠F₁QF₂最大，此時F₁Q⊥F₂Q．
可得點Q在橢圓的內(nèi)部，當b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上可得：$\frac{\sqrt{26}}{26}＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．