Question

8．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求點D到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，AC，由已知條件推導(dǎo)出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．
（Ⅱ）由V_B-PAC=V_P-ABC，求點D到平面PAC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC，
∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB…（2分）
又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB…（3分）
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC．…（4分）
（II）解：∵∠APB=90°，AB=2，AP=BP=$\sqrt{2}$，∴PO=1
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴OC=$\sqrt{3}$
又PC=2，
∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥OC，
又PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC，…（8分）
∵四邊形ABCD是菱形，
∴B，D到平面PAC的距離相等，設(shè)為h，
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$．
∴由V_B-PAC=V_P-ABC，可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$，…（10分）
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查求點D到平面PAC的距離，正確運用等體積法求解是關(guān)鍵．