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已知向量
m
=（
3
sin2x+2，cosx），
n
=（1，2cosx），設函數f（x）=
m
•
n

（1）求f（x）的最小正周期與單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對應的邊，若f（A）=4，b=1，得面積為
3
2
，求a的值．
考點：余弦定理,平面向量數量積的運算,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性
專題：解三角形
分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算列出f（x）解析式，化簡后利用周期公式求出最小正周期；利用正弦函數的單調性確定出遞增區(qū)間即可；
（2）由f（A）=4，根據f（x）解析式求出A的度數，利用三角形面積公式列出關系式，將b，sinA及已知面積代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．
解答： 解：（1）∵向量
m
=（
3
sin2x+2，cosx），
n
=（1，2cosx），
∴函數f（x）=
m
•
n
=
3
sin2x+2+2cos2x=
3
sin2x+cos2x+3=2sin（2x+
π
6
）+3，
∵ω=2，∴T=π，
令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，
得到kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z，
則f（x）的最小正周期為π；單調遞增區(qū)間為[kπ-
2π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z；
（2）由f（A）=4，得到2sin（2A+
π
6
）+3=4，即sin（2A+
π
6
）=
1
2
，
∴2A+
π
6
=
π
6
或2A+
π
6
=
5π
6
，
解得：A=0（舍去）或A=
π
3
，
∵b=1，面積為
3
2
，
∴
1
2
bcsinA=
3
2
，即c=2，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=1+4-2=3，
則a=
3
．
點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，正弦函數的單調性，以及三角形的面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若直線經過A（2
3
，9）、B（4
3
，15）兩點，則直線AB的斜率是（　�。�
A、
3
B、
3
3
C、1
D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
sin2x-2sin2x+a（a∈R）
（1）若x∈R，求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，
π
2
]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并指出此時x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=Acos（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖，
（1）求f（x）的解析式，并求單調遞增區(qū)間
（2）若m（x）=f（x+
π
12
），n（x）=sinx，問是否存在x0∈（
π
6
，
π
4
），使得m（x0），n（x0），m（x0）×n（x0）按某種順序排成等差數列，若存在，試確定x0的個數，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=
1
2
AD，∠BAD=60°，E，F分別為AD，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求二面角D-PA-B的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知cos（α+β）=
4
5
，cosβ=
5
13
，α，β均為銳角，求sinα的值；
（2）在銳角三角形ABC中，cosA=
4
5
，tan（A-B）=-
1
3
，求cosC的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，點（a，b）在4xcosB-ycosC=cosB上．
（1）cosB的值；
（2）若
BA
•
BC
=3，b=3
2
，求a和c．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={4，7，8}，求A∩B，A∪B，（∁UA）∩（∁UB），A∩（∁UB），（∁UA）∪B．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F，G分別是EB和AB的中點．
（1）求三棱錐D-ABC的體積V；
（2）求證：CG⊥平面ABE；
（3）求證：FD∥平面ABC．

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