如圖,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F(xiàn),G分別是EB和AB的中點(diǎn).
(1)求三棱錐D-ABC的體積V;
(2)求證:CG⊥平面ABE;
(3)求證:FD∥平面ABC.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題:計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)DC為三棱錐D-ABC的高,代人公式計(jì)算即可;
(2)線面垂直的判定;AE⊥面ABC,CG?面ABC,可得CG⊥AE,AE∩AB=A,可證得CG⊥平面ABE;
(3)FG∥CD,F(xiàn)D?面ABC,CG?面ABC,利用線面平行的判定定理可證得FD∥平面ABC.
解答: 解:(1)∵△ABC是邊長(zhǎng)為2a的正三角形,
S△ABC=
3
4
×4a2=
3
a2
,又DC垂直于平面ABC且DC=a,
∴V=
1
3
S△ABC×DC=
3
3
a3
. …(4分)
(2)證明:△ABC是正三角形,G是AB的中點(diǎn),
∴CG⊥AB,
又∵AE⊥面ABC,CG?面ABC,
∴CG⊥AE,AE∩AB=A,
∴CG⊥平面ABE;…8
(3)證明:F、G分別是EB和AB的中點(diǎn),∴FG
.
1
2
AE,
又EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,
∴CD
.
1
2
AE,∴CD
.
FG,
∴四邊形CDFG是平行四邊形,
∴FG∥CD,F(xiàn)D?面ABC,CG?面ABC,
∴FD∥平面ABC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了棱錐體積的計(jì)算,線面平行及垂直的判定,考查空間想象能力,計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sin2x+2,cosx),
n
=(1,2cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊,若f(A)=4,b=1,得面積為
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x+3cos2x(x∈R).
(1)將函數(shù)寫(xiě)成f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|ϕ|<
π
2
)的形式;
(2)在直角坐標(biāo)系中,用“五點(diǎn)”法作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的大致圖象;
(3)求f(x)的周期、最大值和最小值及當(dāng)函數(shù)取最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的x的值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

命題p:不等式|x-1|+|x-3|>a對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立;命題q:函數(shù)f(x)=x3+2x2在[a,a+1]上單調(diào)遞減.若命題p或q為真,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知平面上三點(diǎn)A,B,C滿足
BC
=(2-k,3),
AC
=(2,4)
(1)若三點(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)k滿足的條件;
(2)若△ABC為直角三角形,求實(shí)數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)A為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M在圓的半徑AP上,且有點(diǎn)B(1,0)和BP上的點(diǎn)N,滿足
MN
BP
=0,
BP
=2
BN

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+
k2+1
(k>0)與(Ⅰ)中所求的點(diǎn)M的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F和H,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
2
3
OF
OH
3
4
,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)在△ABC中,a=
3
,b=
2
,A=60°求B;
(2)在△ABC中,已知c2=a2+b2-ab,求C角大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知tanα=
1
2
,且α為第三象限角.
(Ⅰ)求tan2α的值;   
(Ⅱ)求cos(α-
π
4
)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-
2
x
,(1≤x<
3
2
)
x+
4
x
,(
3
2
≤x≤5)
,則f(x)的值域?yàn)?div id="sq0ioqb" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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同步練習(xí)冊(cè)答案