Question

（1）已知cos（α+β）=

4

5

，cosβ=

5

13

，α，β均為銳角，求sinα的值；
（2）在銳角三角形ABC中，cosA=

4

5

，tan（A-B）=-

1

3

，求cosC的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，即可求sinα的值；
（2）利用cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosBcosA+sinAsinB，可求cosC的值．

解答： 解：（1）∵α，β均為銳角
∴0°＜α+β＜180°
∴sin（α+β）＞0，sinβ＞0
∵cos(α+β)=

4

5

，
∴sin(α+β)=

3

5

…（2分）
∵cosβ=

5

13

，∴sinβ=

12

13

…（4分）
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

3

5

•

5

13

-

4

5

•

12

13

=

15-48

65

=-

33

65

…（7分）
（2）在銳角三角形ABC中cosA=

4

5

∴sinA=

3

5

，∴tanA=

3

4

…（8分）
又tan(A-B)=-

1

3

∴

tanA-tanB

1+tanAtanB

=-

1

3

∴tanB=

13

9

…（10分）
又0＜B＜

π

2

∴sinB=

13 10

50

     cosB=

9 10

50

…（12分）
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosBcosA+sinAsinB=-

9 10

50

•

4

5

+

3

5

•

13 10

50

=

3 10

250

…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，正確運用公式是關(guān)鍵．