Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分別是A1C1 ， BC的中點．

（1）證明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
（2）證明：C1F∥平面ABE；
（3）設P是BE的中點，求三棱錐P﹣B1C1F的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，

∴ ，

∴AB2+BC2=AC2，

∴AB⊥BC．

由已知AB⊥BB1，

∴AB⊥面BB1C1C，

又∵AB面ABE，

故ABE⊥面BB1C1C．

（2）證明：取AC的中點M，連接C1M，F(xiàn)M，在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，∴直線FM∥面ABE．

在矩形ACC1A1中，E、M都是中點，∴C1M∥AE，∴直線C1M∥面ABE，

又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．

（3）解：在棱AC上取中點G，連接EG、BG，在BG上取中點O，

連接PO，則PO∥BB1，∴點P到面BB1C1C的距離等于點O到平面BB1C1C的距離．

過O作OH∥AB交BC與H，則OH⊥平面BB1C1C，在等邊△BCG中，可知CO⊥BG，

∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 ，∴ ．

【解析】（1）用勾股定理證明AB⊥BC，由直棱錐的性質可得 AB⊥BB1 ， 證明AB⊥面BB1C1C，從而得到ABE⊥面BB1C1C．（2）取AC的中點M，由FM∥面ABE，C1M∥面ABE，從而面ABE∥面FMC1 ， 得到C1F∥面AEB．（3）在棱AC上取中點G，在BG上取中點O，則PO∥BB1 ， 過O作OH∥AB交BC與H，則OH為棱錐的高，求出OH 值和△B1C1F的面積，代入體積公式進行運算．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．