【題目】已知函數(shù)(其中
)在點(diǎn)
處的切線斜率為1.
(1)用表示
;
(2)設(shè),若
對定義域內(nèi)的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,如果,證明:
.
【答案】(1);(2)
;(III)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)由題意即得;
(2)在定義域
上恒成立,即
,由
恒成立,得
,再證當(dāng)
時(shí),
即可;
(3)由(2)知,且
在
單調(diào)遞減;在
單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),不妨設(shè)
,要證明
,等價(jià)于
,需要證明
,令
,可證得
在
上單調(diào)遞增,
即可證得.
試題解析:
(1),由題意
(2)在定義域
上恒成立,即
。
解法一: 恒成立,則
。
當(dāng)時(shí),
,
令得
(注意
)
所以時(shí),
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增。
所以,符合題意。
綜上所述, 對定義域內(nèi)的
恒成立時(shí),實(shí)數(shù)
的取值范圍是
。
解法二:(分離變量)恒成立,分離變量可得
對
恒成立,
令,則
。
這里先證明,記
,則
,
易得在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
,所以
。
因此, ,且
時(shí)
,
所以,實(shí)數(shù)
的取值范圍是
。
(3)由(2)知,且
在
單調(diào)遞減;在
單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),不妨設(shè)
,要證明
,等價(jià)于
,
只需要證明,這里
,
令
,求導(dǎo)得
.
注意當(dāng)時(shí),
,
,(可由基本不等式推出)又
因此可得,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號成立。
所以在
上單調(diào)遞增,
,也即
,
因此,此時(shí)
都在單調(diào)遞增區(qū)間
上,
所以,得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形為等腰梯形,
,
沿對角線將
旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)
至點(diǎn)
的位置,此時(shí)滿足
.
(1)判斷的形狀,并證明;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
.
(1)時(shí),求
在
上的單調(diào)區(qū)間;
(2)且
,
均恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,值域?yàn)?/span>
,即
,若
,則稱
在
上封閉.
(1)分別判斷函數(shù),
在
上是否封閉,說明理由;
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,且存在反函數(shù)
,若函數(shù)
在
上封閉,且函數(shù)
在
上也封閉,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,對任意
,若
,有
恒成立,則稱
在
上是單射,已知函數(shù)
在
上封閉且單射,并且滿足
,其中
(
),
,證明:存在
的真子集,
,使得
在所有
(
)上封閉.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長為
的正方形,
平面
,
,
,
與平面
所成角為
.
(Ⅰ)求證:平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是線段
上一個(gè)動點(diǎn),試確定點(diǎn)
的位置,使得
平面
,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要
,必有
,則稱
具有性質(zhì)
.
(1)若具有性質(zhì)
,且
,
,求
;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列
是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,
,
,
判斷
是否具有性質(zhì)
,并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知
.求證:“對任意
都具有性質(zhì)
”的充要條件為“
是常數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右有頂點(diǎn)分別是
、
,上頂點(diǎn)是
,圓
:
的圓心
到直線
的距離是
,且橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線
的焦點(diǎn)重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)平行于軸的動直線與橢圓和圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為
、
,直線
、
與
軸的交點(diǎn)記為
,
.試判斷
是否為定值,若是,證明你的結(jié)論.若不是,舉反例說明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
(限定
).
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求
與
交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)射線與曲線
與
分別交于點(diǎn)
(
異于原點(diǎn)),求
的取值范圍.
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