Question

18．已知直線l：y=x+m與函數(shù)f（x）=ln（x+2）的圖象相切于點(diǎn)P．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）證明除切點(diǎn)P外，直線l總在函數(shù)f（x）的圖象的上方；
（3）設(shè)a，b，c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，x₀+m），根據(jù)切點(diǎn)在兩條曲線上，及f（x）=ln（x+2）于點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)為1，列式求得m=1．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+1-ln（x+2），證明g（x）＞0即可．
 （3）可得$a+c＞2\sqrt{ac}$．b²=ac，即$a+c＞2\sqrt{ac}=2b$．，且函數(shù)f（x）=ln（x+2）是增函數(shù)，故ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b²+4b+4），f（a）+f（c）＞2f（b）．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，x₀+m），則f'（x₀）=1．
由$f'（x）=\frac{1}{x+2}$，有$1=\frac{1}{{{x_0}+2}}$，解得x₀=-1，
于是m-1=0，得m=1．…（2分）
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+1-ln（x+2），其導(dǎo)數(shù)$g'（x）=1-\frac{1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}$．
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0；
所以g（x）在區(qū)間（-2，-1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（-1，+∞）單調(diào)遞增．
所以g（x）＞g（-1）=0．
因此對(duì)于x∈（-2，-1）∪（-1，+∞），總有x+1＞ln（x+2），
即除切點(diǎn)（-1，0）外，直線l總在函數(shù)f（x）的圖象的上方．…（7分）
（3）因?yàn)閍，b，c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，所以$a+c＞2\sqrt{ac}$．
又因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b²=ac，
于是$a+c＞2\sqrt{ac}=2b$．
而f（a）+f（c）=ln[（a+2）（c+2）]=ln[ac+2（a+c）+4]，2f（b）=2ln（b+2）=ln（b²+4b+4）．
由于ac+2（a+c）+4=b²+2（a+c）+4＞b²+4b+4，且函數(shù)f（x）=ln（x+2）是增函數(shù)，
因此ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b²+4b+4），
故f（a）+f（c）＞2f（b）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．