Question

11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為$10+4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，體積為4．

Answer 1

分析 由三視圖可得幾何體直觀圖為四棱錐B-ACQP：其中PA∥QC，PA⊥側(cè)面ABC，AB⊥AC．PA=$\frac{1}{2}$QC=2，AB=AC=2．QB=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．利用表面積與體積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：由三視圖可得幾何體直觀圖為四棱錐B-ACQP：其中PA∥QC，PA⊥側(cè)面ABC，AB⊥AC．
PA=$\frac{1}{2}$QC=2，AB=AC=2．
QB=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∴該幾何體的表面積S=$\frac{2+4}{2}×2$+$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}$=10+4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$．
體積V=$\frac{1}{3}×\frac{2+4}{2}×2×2$=4．
故答案為：$10+4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$，4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四棱錐的三視圖、表面積與體積計(jì)算公式、勾股定理，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．