Question

10．已知遞增等比數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$，求數(shù)列{a_n²•b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）在（2）的條件下，令c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}_{n+2}}$，{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)，計(jì)算即可得到q，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=（n-1）log₃$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法可得前n項(xiàng)和S_n；
（3）求得c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}_{n+2}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得T_n，判斷單調(diào)性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a₃²-2a₃a₅+a₅²=36，
即有（a₃-a₅）²=6²，
可得a₅-a₃=6，
即q⁴-q²=6，解得q²=3（-2舍去），
即有q=$\sqrt{3}$，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（$\sqrt{3}$）^n-1；
（2）b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=（n-1）log₃$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
數(shù)列{a_n²•b_n}的通項(xiàng)為$\frac{1}{2}$n•3^n-1．
前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（1+2•3+3•3²+4•3³+…+n•3^n-1），
3S_n=$\frac{1}{2}$（1•3+2•3²+3•3³+4•3⁴+…+n•3ⁿ），
兩式相減可得，-2S_n=$\frac{1}{2}$（1+3+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ），化簡(jiǎn)可得S_n=$\frac{n•{3}^{n}}{4}$-$\frac{{3}^{n}-1}{8}$；
（3）c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}_{n+2}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$），
{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=4（$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）=2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$，
由2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$為遞增數(shù)列，即有n=1時(shí)，取得最小值2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
由T_n＞λ恒成立，可得λ＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．