Question

18．在正方形ABCD的邊長為2，$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DB}）$，則$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$的值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $-\frac{2}{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $-\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由條件可以得到$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，從而根據(jù)向量加法、減法的幾何意義便可得到$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}=（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}）•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}）$，這樣進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算便可求出$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$的值．

解答 解：如圖，$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$；

∴$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$；
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}=（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}）•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}）$=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}+0+0-\frac{1}{3}{\overrightarrow{CD}}^{2}=-\frac{10}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)乘的運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，相互垂直向量的數(shù)量積為0．