Question

18．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²（x∈R），g（x）滿足g′（x）=$\frac{a}{x}$（a∈R，x＞0），且g（e）=a，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）已知h（x）=e^1-x•f（x），求h（x）在（1，h（1））處的切線方程；
（2）設函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＜1}\\{g（x），x≥1}\end{array}\right.$，O為坐標原點，若對于y=F（x）在x≤-1時的圖象上的任一點P，在曲線y=F（x）（x∈R）上總存在一點Q，使得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＜0，且$\overrightarrow{PQ}$的中點在y軸上，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）的導數(shù)，得到h（1），h′（1）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導數(shù)，得到c=0，得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-t²-at²（t-1）ln（-t）＜0，所以a（1-t）ln（-t）＜1，通過討論t的范圍，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵h（x）=（-x³+x²）e^1-x，h′（x）=（x³-4x²+2x）e^1-x，
∴h（1）=0，h′（1）=-1，
∴h（x）在（1，h（1））處的切線方程為：y=-（x-1），即y=-x+1；
（2）∵g′（x）=$\frac{a}{x}$（x＞0），∴g（x）=alnx+c，
∴g（e）=alne+c=a+c=a，得：c=0，從而g（x）=alnx，
設P（t，F(xiàn)（t））為y=F（x）在x≤-1時的圖象上的任意一點，則t≤-1，
∵PQ的中點在y軸上，∴Q的坐標為（-t，F(xiàn)（-t）），
∵t≤-1，∴-t≥1，所以P（t，-t³+t²），O（-t，aln（-t）），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-t²-at²（t-1）ln（-t），由于$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＜0，所以a（1-t）ln（-t）＜1，
當t=-1時，a（1-t）ln（-t）＜1恒成立，∴a∈R；
當t＜-1時，a＜$\frac{1}{（1-t）（ln（-t）}$，令ω（t）=$\frac{1}{（1-t）（ln（-t）}$，（t＜-1），
則ω′（t）=$\frac{（t-1）+tln（-t）}{{[（1-t）ln（-t）]}^{2}}$，
∵t＜-1，∴t-1＜0，tln（-t）＜0，∴ω′（t）＞0，
從而ω（t）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，由于t→-∞時，ω（t）→0，ω（t）＞0，
∴a≤0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．