Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=2px（p＞0）的準線l與x軸交于點M，過M的直線與拋物線交于A，B兩點．設A（x₁，y₁）到準線l的距離為d，且d=λp（λ＞0）．
（1）若y₁=d=1，求拋物線的標準方程；
（2）若$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知x₁=1-$\frac{p}{2}$，A點坐標為（1-$\frac{p}{2}$，1），將A點坐標代入拋物線方程求得p的值，寫出拋物線的標準方程；
（2）直線AB過M（-$\frac{p}{2}$，0），設直線AB的方程為y=k（x+$\frac{p}{2}$），代入拋物線方程y²=2px，消去y，整理得${k}^{2}{x}^{2}+p（{k}^{2}-2）x+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}=0$，解出x₁、x₂，將d=x₁+$\frac{p}{2}$，代入d=λp，得${x}_{1}+\frac{p}{2}=λp$，$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，可知，${x}_{1}+\frac{p}{2}=λ（{x}_{2}-{x}_{1}）$，將x₁、x₂代入，即可解得${k}^{2}=2\sqrt{2}-2$，可證直線AB的斜率為定值．

解答 解：（1）由條件知，x₁=1-$\frac{p}{2}$，則A點坐標為（1-$\frac{p}{2}$，1），代入拋物線方程得p=1，
∴拋物線方程為y²=2x，
（2）證明：設B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x+$\frac{p}{2}$），
將直線AB的方程代入y²=2px，消去y得：${k}^{2}{x}^{2}+p（{k}^{2}-2）x+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}=0$，
解得：x₁=$\frac{-p（{k}^{2}-2）-2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2k}$，x₂=$\frac{-p（{k}^{2}-2）+2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$．
∵d=λp，
∴${x}_{1}+\frac{p}{2}=λp$，
$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，${x}_{1}+\frac{p}{2}=λ（{x}_{2}-{x}_{1}）$，
∴p=x₂-x₁=$\frac{2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∴${k}^{2}=2\sqrt{2}-2$，
∴直線AB的斜率為定值．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，以及點到直線的距離公式和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，屬于中檔題．