Question

 如圖1­3，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)．在五棱錐P ­ ABCDE中，F為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.

(1)求證：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng)．

圖1­3

Answer 1

解：(1)證明：在正方形AMDE中，因?yàn)?i>B是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE.

又因?yàn)?i>AB⊄平面PDE，

所以AB∥平面PDE.

因?yàn)?i>AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG.

(2)因?yàn)?i>PA⊥底面ABCDE，

所以PA⊥AB，PA⊥AE.

建立空間直角坐標(biāo)系Axyz，如圖所示，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，＝(1，1，0)．

設(shè)平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則

即

令z＝1，則y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．

設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則

sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.

設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u，v，w)．

因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)＝λ(0<λ<1)．

即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.

因?yàn)?i>n是平面ABF的一個(gè)法向量，

所以n·＝0，

即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，

解得λ＝，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

所以PH＝＝2.