Question

在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖1­5所示．

(1)求證：AB⊥CD；

(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

圖1­5

Answer 1

解：(1)證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.

又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.

(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD.

由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?i>x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．

依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.

則＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．

設(shè)平面MBC的法向量n＝(x₀，y₀，z₀)，

則即

取z₀＝1，得平面MBC的一個(gè)法向量n＝(1，－1，1)．

設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ，

則sin θ＝＝＝.

即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.