Question

15．一元二次不等式$a{x^2}+2x+b＞0\begin{array}{l}{\;}{（a＞b）}\end{array}$的解集為$\left\{{x|x≠-\frac{1}{a}}\right\}$，則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值為$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過(guò)關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為$\left\{{x|x≠-\frac{1}{a}}\right\}$，求出a，b的關(guān)系，利用基本不等式確定其最小值．

解答 解：一元二次不等式$a{x^2}+2x+b＞0\begin{array}{l}{\;}{（a＞b）}\end{array}$的解集為$\left\{{x|x≠-\frac{1}{a}}\right\}$，
說(shuō)明x=-$\frac{1}{a}$時(shí)，不等式對(duì)應(yīng)的方程為0，
可得b=$\frac{1}{a}$，即ab=1，
∵a＞b，
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab}{a-b}$=（a-b）+$\frac{2}{a-b}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a-b=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值為2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．