Question

5．若x²+2（m-1）x+2m+6＞0在x∈[0，2]上總成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上總成，轉(zhuǎn)化為，m在一側(cè)的不等式，通過(guò)基本不等式求出另一側(cè)的最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上總成立，
即2m（x+1）＞-（x+1）²+4（x+1）-9，
∵x∈[0，2]，
∴x+1∈[1，3]，
∴2m＞-[（x+1）+$\frac{9}{x+1}$]+4，
∵（x+1）+$\frac{9}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{9}{x+1}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，
∴2m＞-6+4=-2，
∴m＞-1，
故m的取值范圍為（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，二次函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．