Question

2．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}，n=1，2}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥3}\end{array}\right.$，n∈N*，其前n項(xiàng)和為S_n，則$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 通過等比數(shù)列的求和公式可知當(dāng)n≥3時(shí)$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，進(jìn)而取極限可得結(jié)論．

解答 解：由題可知$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{7}{4}$，
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的求和公式，涉及極限思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．