Question

5．下列函數(shù)中，y的最小值為4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=2（2^x+2^-x）
• C． y=$\frac{2（{x}^{2}+5）}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$
• D． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式和一正二定三相等，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確．

解答 解：A、當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4（當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{4}{x}$時(shí)取等號(hào)），但是當(dāng)x＜0時(shí)不成立，A不正確；
B、因?yàn)?^x＞0，所以y=2（2^x+2^-x）≥2•2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=4（當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x時(shí)取等號(hào)即x=0時(shí)），則y的最小值為4，B正確；
C、y=$\frac{2（{x}^{2}+4+1）}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=2（$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$）≥4，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$時(shí)取等號(hào)，
但是此時(shí)x無(wú)解，則y＞4，C不正確；
D、因?yàn)?＜x＜π，所以0＜sinx≤1，則y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=$\frac{4}{sinx}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)sinx=2，
當(dāng)時(shí)sinx=2不成立，則y＞4，D不正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，必須驗(yàn)證一正二定三相等，特別等號(hào)成立的條件．