Question

17．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)一切x＞0，y＞0都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），當(dāng)x＞1時(shí)，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（2x-4）-f（$\frac{x}{36}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）利用單調(diào)性的定義，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后，判斷符號(hào)即可；
（3）依題意，由f（6）=1⇒f（36）=2，將不等式f（2x-4）-f（$\frac{x}{36}$）＜2進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0，
則f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（6）=1，∴f（36）-f（6）=f（6），
∴f（36）=2f（6）=2．
由f（2x-4）-f（$\frac{x}{36}$）＜2．
得f（$\frac{2x-4}{\frac{x}{36}}$）＜f（36），
即f（$\frac{36（2x-4）}{x}$）＜f（36），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-4＞0}\\{\frac{x}{36}＞0}\\{\frac{36（2x-4）}{x}＜36}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞0}\\{2x-4＜x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞0}\\{x＜4}\end{array}\right.$，即2＜x＜4．
∴原不等式的解集為（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查不等式的解法，屬于中檔題．