Question

15．（1）求函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{2-x}$的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）=$\frac{{2-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≠0}\end{array}\right.$，求解可得函數(shù)定義域；
（2）由已知函數(shù)分離常數(shù)可得f（x）=-1+$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，又1+x²≥1，得0＜$\frac{3}{1+{x}^{2}}≤3$，不等式兩邊同時(shí)加-可求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≠0}\end{array}\right.$，解得x≥1且x≠2，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋篬1，2）∪（2，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{{2-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$=-1+$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，
∵1+x²≥1，∴0＜$\frac{1}{1+{x}^{2}}≤1$，
則0$＜\frac{3}{1+{x}^{2}}≤3$，
∴-1＜-1+$\frac{3}{1+{x}^{2}}$≤2，
即函數(shù)f（x）=$\frac{{2-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$的值域?yàn)椋海?1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查函數(shù)的值域的求法，屬基礎(chǔ)題．