【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, ,,,,是線段的中點.
(1)證明:平面
(2)當(dāng)為何值時,四棱錐的體積最大?并求此最大值
【答案】(1)見解析(2)當(dāng)PA=4時,體積最大值為16.
【解析】
(1)取PD中點N,易證MNCB為平行四邊形,進而得BM,CN平行,得證;
(2)設(shè)PA=x(0),把體積表示為關(guān)于x的函數(shù),借助不等式求得最大值.
(1)取PD中點N,連接MN,CN,
∵M是AP的中點,
∴MN∥AD且MN,
∵AD∥BC,AD=2BC,
∴MN∥BC,MN=BC,
∴四邊形MNCB是平行四邊形,
∴MB∥CN,
又BM平面PCD,CN平面PCD,
∴BM∥平面PCD;
(2)設(shè)PA=x(0<x<4),
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,
∵,
∴AB,
又∵AB⊥AD,AD=2BC=4,
∴VP﹣ABCD
=16,
當(dāng)且僅當(dāng)x,即x=4時取等號,
故當(dāng)PA=4時,四棱錐P﹣ABCD的體積最大,最大值為16.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)).現(xiàn)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)過點,且與直線平行的直線交于兩點,求.
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【題目】近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國,下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下所示.
題號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 0.100 | ||
第2組 | ① | ||
第3組 | 20 | ② | |
第4組 | 20 | 0.200 | |
第5組 | 10 | 0.100 | |
第6組 | 100 | 1.00 |
(1)請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成如下的頻率分布直方圖;
(2)組委會決定在5名(其中第3組2名,第4組2名,第5組1名)選手中隨機抽取2名選接受考官進行面試,求第4組至少有1名選手被考官面試的概率.
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【題目】在以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為,平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)設(shè)直線l與曲線C交于M,N兩點,求|MN|;
(2)若點P(x,y)為曲線C上任意一點,求的取值范圍.
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【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是
A. 的一個周期為 B.
C. 是圖象的一條對稱軸 D. 是偶函數(shù)
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【題目】祖暅是我國古代的偉大科學(xué)家,他在5世紀末提出祖暅:“冪勢即同,則積不容異”,意思是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意一個平面所截,若截面面積都相等,則這兩個幾何體的體積相等. 祖暅原理常用來由已知幾何體的體積推導(dǎo)未知幾何體的體積,例如由圓錐和圓柱的的體積推導(dǎo)半球體的體積,其示意圖如圖所示,其中圖(1)是一個半徑為R的半球體,圖(2)是從圓柱中挖去一個圓錐所得到的幾何體. (圓柱和圓錐的底面半徑和高均為R)
利用類似的方法,可以計算拋物體的體積:在x-O-y坐標系中,設(shè)拋物線C的方程為y=1-x2 (-1x1),將曲線C圍繞y軸旋轉(zhuǎn),得到的旋轉(zhuǎn)體稱為拋物體. 利用祖暅原理可計算得該拋物體的體積為_________.
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【題目】某校為了增強學(xué)生的記憶力和辨識力,組織了一場類似《最強大腦》的PK賽,兩隊各由4名選手組成,每局兩隊各派一名選手PK,比賽四局.除第三局勝者得2分外,其余各局勝者均得1分,每局的負者得0分.假設(shè)每局比賽A隊選手獲勝的概率均為,且各局比賽結(jié)果相互獨立,比賽結(jié)束時A隊的得分高于B隊的得分的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù)(R).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意實數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的最大值為,求的取值范圍.
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【題目】根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量(百千克)與某種液體肥料每畝使用量(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);
(2)求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測液體肥料每畝使用量為千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少?
附:相關(guān)系數(shù)公式,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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