Question

【題目】已知函數(shù)（R）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）

【解析】

試題（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上就是解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間；（2）函數(shù)的最大值一般與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系在一起，本題中，其單調(diào)性要對(duì)進(jìn)行分類(lèi)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意，故有，按極值點(diǎn)與0的大小分類(lèi)研究單調(diào)性有最大值．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

則，

令，得或；令，得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由題意，

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不存在實(shí)

數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為．

（2）當(dāng)時(shí)，令，有，，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然符合題意．

②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，且，

要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，

只需，解得，又，

所以此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是．

③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，要存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，

函數(shù)的最大值為，需，

代入化簡(jiǎn)得，①

令，因?yàn)?/span>恒成立，

故恒有，所以時(shí)，①式恒成立，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．