Question

連續(xù)拋兩次質(zhì)地均勻的骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，將m，n作為Q點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．
（1）記向量

a

=（m，n），

b

=（1，-1）的夾角為θ，求θ∈（0，

π

2

]的概率；
（2）求點(diǎn)Q落在區(qū)域|x-2|+|y-2|≤2內(nèi)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）本題考查的知識點(diǎn)是古典概型的意義，關(guān)鍵是要列出連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向

a

=（m，n）的個(gè)數(shù)，及滿足θ∈（0，

π

2

]的向量

a

的個(gè)數(shù)，再將它們代入古典概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解；
（2）擲兩次骰子，會有6×6=36種可能，點(diǎn)P（m，n）落在區(qū)域|x-2|+|y-2|≤2內(nèi)，即|m-2|+|n-2|≤2，有11種可能，代入古典概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量

a

=（m，n）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36個(gè)基本事件
若θ∈（0，

π

2

]，則m≥n，則滿足條件的

a

=（m，n）有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）
（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）
（6，4），（6，5），（6，6），共21個(gè)基本事件
則P=

21

36

=

7

12

；
（2）擲兩次骰子，會有6×6=36種可能．
點(diǎn)P（m，n）落在區(qū)域|x-2|+|y-2|≤2內(nèi)，即|m-2|+|n-2|≤2，則共有以下可能性．
①（1，1）（1，2）（1，3）；
②（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）；
③（3，1）（3，2）（3，3）；
④（4，2）；
這11個(gè)點(diǎn)都滿足|m-2|+|n-2|≤2，即所求概率為P=

11

36

．

點(diǎn)評：古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同．弄清一次試驗(yàn)的意義以及每個(gè)基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．解決問題的步驟是：計(jì)算滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，及基本事件的總個(gè)數(shù)，然后代入古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解．