Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中點，求證：
（1）DB⊥面ACC₁A₁     
 （2）B₁C∥面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）欲證明直線與平面垂直，可以先證明直線與直線垂直，由AA₁⊥DB，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）連接AB₁交A₁B于O，則O為AB₁的中點，連接OD，證明OD∥B₁C，即可證明結論．

解答 證明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥DB．
∵△ABC為正三角形，D是AC的中點，
∴BD⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，
∴DB⊥面ACC₁A₁     
 （2）連接AB₁交A₁B于O，則O為AB₁的中點，連接OD．
在△AB₁C中，OD為中位線，∴OD∥B₁C，
∵OD?面A₁BD，B₁C?面A₁BD，
∴B₁C∥面A₁BD．

點評 本題考查直線與平面平行、垂直的證明，考查數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．