Question

3．已知奇函數(shù)f（x）、偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）求使f（2x）=mf（x）g（x）恒成立的實數(shù)m的值；
（3）探究y=f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析 （1）運用奇偶性的定義，將x換成-x，運用函數(shù)方程的思想，可得f（x），g（x）的解析式；
（2）運用指數(shù)的運算性質(zhì)，計算即可得到m=2；
（3）當a＞1時，f（x）在R上遞增，當0＜a＜1時，f（x）在R上遞減．運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號和下結(jié)論，幾個步驟．

解答 解：（1）f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．①
可得f（-x）+g（-x）=a^-x，
由奇函數(shù)f（x）、偶函數(shù)g（x），可得f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
即有-f（x）+g（x）=a^-x，②
由①②可得，f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），
g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）；
（2）f（2x）=$\frac{1}{2}$（a^2x-a^-2x），
f（x）g（x）=$\frac{1}{4}$（a^2x-a^-2x），
由f（2x）=mf（x）g（x）恒成立，可得m=2；
（3）當a＞1時，f（x）在R上遞增，當0＜a＜1時，f（x）在R上遞減．
證明如下：設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=$\frac{1}{2}$（a^m-a^-m）-$\frac{1}{2}$（aⁿ-a^-n）
=$\frac{1}{2}$[（a^m-aⁿ）+$\frac{{a}^{m}-{a}^{n}}{{a}^{m+n}}$]=$\frac{1}{2}$（a^m-aⁿ）（1+$\frac{1}{{a}^{m+n}}$），
當a＞1時，0＜a^m＜aⁿ，即有f（m）-f（n）＜0，即為f（m）＜f（n）；
當0＜a＜1時，a^m＞aⁿ，即有f（m）-f（n）＞0，即為f（m）＞f（n）．
即有當a＞1時，f（x）在R上遞增，當0＜a＜1時，f（x）在R上遞減．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應用，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，同時考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和應用，屬于中檔題．