Question

14．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，P（m，n）為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，記∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，下列結(jié)論正確的是②④⑤
①若△PF₁F₂是銳角三角形，則sinα＜cosβ．
②橢圓的離心率e=$\frac{sin（α+β）}{sinα+sinβ}$；
③若△PF₁F₂是銳角三角形，則它的外心到三邊距離之比為sinα：sinβ：sin（α+β）；
④存在一個(gè)定圓與以P為圓心PF₂為半徑的圓相切；
⑤$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$≥（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²．

Answer 1

分析 ①由銳角三角形可得α+β＞$\frac{π}{2}$，即為α＞$\frac{π}{2}$-β，兩邊取正弦，即可判斷；
②運(yùn)用正弦定理和離心率公式，即可判斷；
③若△PF₁F₂是銳角三角形，設(shè)外心為O，過O作OC，OD，OE垂直于PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂，運(yùn)用圓心角和圓周角的關(guān)系，以及解直角三角形，即可判斷；
④由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2a，即有PF₁=2a-PF₂，由兩圓內(nèi)切的條件即可判斷；
⑤設(shè)m=acosα，n=bsinα，由乘1法和基本不等式，即可得到最小值，即可判斷．

解答 解：①若△PF₁F₂是銳角三角形，則α+β＞$\frac{π}{2}$，即為α＞$\frac{π}{2}$-β，則有sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，故①錯(cuò)誤；
②由正弦定理可得$\frac{P{F}_{1}}{sinβ}$=$\frac{P{F}_{2}}{sinα}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{sin（α+β）}$=$\frac{P{F}_{1}+P{F}_{2}}{sinα+sinβ}$，可得e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{sin（α+β）}{sinα+sinβ}$，故②正確；
③若△PF₁F₂是銳角三角形，設(shè)外心為O，過O作OC，OD，OE垂直于PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂，由圓心角為圓周角的2倍，
∠COF₁=β，在直角△OCF₁中，cosβ=$\frac{OC}{R}$，同理可得cosα=$\frac{OD}{R}$，cos（α+β）=$\frac{OE}{R}$，即有外心到三邊距離之比為cosα：cosβ：cos（α+β），故③錯(cuò)誤；
④由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2a，即有PF₁=2a-PF₂，則存在以F₁為圓心，2a為半徑的圓與以P為圓心PF₂為半徑的圓相內(nèi)切，故④正確；
⑤設(shè)m=acosα，n=bsinα，$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{^{2}si{n}^{2}α}$=（$\frac{1}{{a}^{2}co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{^{2}si{n}^{2}α}$）（cos²α+sin²α）=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{si{n}^{2}α}{{a}^{2}co{s}^{2}α}$
+$\frac{co{s}^{2}α}{^{2}si{n}^{2}α}$≥$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{2}{ab}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²．故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義和方程及性質(zhì)，同時(shí)考查正弦定理和同角的平方關(guān)系，以及基本不等式的運(yùn)用，三角形的外心的性質(zhì)和解直角三角形的知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．