Question

（2007•東城區(qū)一模）已知{a_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，Pn=a1+a2

C

1 n

+a3

C

2 n

+…+an+1

C

n n

（n∈N^*，n＞2），Qn=

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…+

C

m n

，（其中m=2[

n

2

]，[t]表示t的最大整數(shù)，如[2.5]=2）．如果數(shù)列{

Pn

Qn

}有極限，那么公比q的取值范圍是（　�。�

A．-1＜q≤1，且q≠0

B．-1＜q＜1，且q≠0

C．-3＜q≤1，且q≠0

D．-3＜q＜1，且q≠0

Answer 1

分析：分別求出P_n，Q_n，利用數(shù)列{

Pn

Qn

}有極限，即可求得公比q的取值范圍．

解答：解：由題意，a_n=a₁•q^n-1，P_n=a₁+a₁qC_n¹+a₁q²C_n²++a₁qⁿC_nⁿ=a₁（1+qC_n¹+q²C_n²++qⁿC_nⁿ）
=a₁（1+q）ⁿ=（1+q）ⁿ（q≠0）；
當(dāng)n為偶數(shù)時，m=n，Qn=

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…+

C

m n

=2^n-1；
當(dāng)n為奇數(shù)時，m=2[

n

2

]=n-1，Qn=

C

0 n

+

C

2 n

+

C

4 n

+…+

C

m n

=2^n-1；
∴

Pn

Qn

=2•(

1+q

2

)n
由題意得-1＜

1+q

2

≤1，即-3＜q≤1
又q≠0 則-3＜q≤1，則q≠0，
故選C．

點評：本題考查二項式定理的運用，考查數(shù)列的極限，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．