Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為An ， 對(duì)任意n∈N*滿足 ﹣ = ，且a1=1，數(shù)列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），b3=5，其前9項(xiàng)和為63．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn= + ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 若對(duì)任意正整數(shù)n，都有Tn≥2n+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）將數(shù)列{an}，{bn}的項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新的數(shù)列：a1 ， b1 ， b2 ， a2 ， a3 ， b3 ， b4 ， a4 ， a5 ， b5 ， b6 ， …，求這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，

∴ ，即 ，

∴ ，

又a1=1，∴ ，

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Bn，∵ 且b3=5，

∴b7=9，∴{bn}的公差為 ，

（2）解：由（1）知 ，

∴Tn=c1+c2+…+cn= = = ，

∴ ，

設(shè) ，則 ，

∴數(shù)列{Rn}為遞增數(shù)列，

∴ ，

∵對(duì)任意正整數(shù)n，都有Tn﹣2n≥a恒成立，∴

（3）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 ．

①當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)， ；

②當(dāng)n=4k+1（k∈N*）時(shí)， =4k2+8k+1，

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，S1=1也符合上式；

③當(dāng)n=4k﹣1（k∈N*）時(shí)， ．

綜上： ，k∈N*

【解析】（1）由 ，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得An ， 再利用遞推關(guān)系可得an ． 由bn+2﹣2bn+1+bn=0，可得數(shù)列
{bn}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）知 ，再利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．（3）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 ．對(duì)n分類討論即可得出．