Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值是28．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值為g（t），求g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)f（x）=ax（x-5）（a＞0），可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=2.5，恰好位于區(qū)間[-2，4]，得f（x）的最大值是f（-2）=14a=28，得a=2，可得函f（x）數(shù)的表達(dá)式；
（2）分t+1≤2.5時(shí)、t≥2.5時(shí)和1.5＜t＜2.5時(shí)三種情況，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，可得相應(yīng)情況下函數(shù)的最小值，最后綜合可得g（t）的表達(dá)式．

解答： 解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可設(shè)f（x）=ax（x-5）（a＞0）．
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值是f（-2）=14a．
由已知，得14a=28，∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）由（1）得f（x）=2（x-2.5）²-12.5，函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸為x=2.5
①當(dāng)t+1≤2.5時(shí)，即t≤1.5時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）²-10（t+1）=2t²-6t-8；
②當(dāng)t≥2.5時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t²-10t；
③當(dāng)1.5＜t＜2.5時(shí)，函數(shù)y=f（x）在對(duì)稱軸處取得最小值
此時(shí)，g（t）=f（2.5）=-12.5
綜上所述，得g（t）的表達(dá)式為：g（t）=

2t2-6t-8，t≤1.5 -12.5，1.5＜t＜2.5 2t2-10t，t≥2.5

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點(diǎn)評(píng)：本題給出一元二次不等式的解集，求二次函數(shù)的表達(dá)式并求它在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．