Question

在二項式（x-2y）⁷的展開式中，
（Ⅰ）求二項式系數(shù)之和；
（Ⅱ）求各項系數(shù)之和；
（Ⅲ）求奇數(shù)項系數(shù)之和．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）在二項式（x-2y）⁷的展開式中，二項式系數(shù)之和為

C

0 7

+

C

1 7

+

C

2 7

+…+

C

7 7

=2⁷．
（Ⅱ）在二項式（x-2y）⁷的展開式中，令x=1，y=1，可得各項系數(shù)之和．
（Ⅲ）設（x-2y）⁷=a₀x⁷+a₁x⁶y+a₂x⁵y²+…+a₇y⁷，令x=1，y=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1①，再x=1，y=-1，可得a₀-a₁+a₂-…+a₇=（1+2）⁷=3⁷ ②，把①、②相加可求得奇數(shù)項系數(shù)之和 a₀+a₂+a₄+a₆ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）在二項式（x-2y）⁷的展開式中，二項式系數(shù)之和為

C

0 7

+

C

1 7

+

C

2 7

+…+

C

7 7

=2⁷=128．
（Ⅱ）在二項式（x-2y）⁷的展開式中，令x=1，y=1，可得各項系數(shù)之和 （-1）⁷=-1．
（Ⅲ）設二項式（x-2y）⁷=a₀x⁷+a₁x⁶y+a₂x⁵y²+…+a₇y⁷，
令x=1，y=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1①，再x=1，y=-1，可得a₀-a₁+a₂-…+a₇=（1+2）⁷=3⁷ ②，
把①、②相加可求得奇數(shù)項系數(shù)之和 a₀+a₂+a₄+a₆=

37-1

2

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，注意“第r+1項的二項式系數(shù)”與“第r+1項的系數(shù)”的區(qū)別，屬于基題．