Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an+1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出a_n=2a_n-1+1，由此能證明數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而能求出an=2n-1．
（2）b_n=

an+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-n，
∴n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-（2a_n-1-n+1）
=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴an+1=2n，
∴an=2n-1．
（2）∵b_n=

an+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=

1

2-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

=

2n+1-2

2n+1-1

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為

2n+1-2

2n+1-1

．

點評：本題考等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，注意裂項求和法的合理運用．